前に投げっぱなしになったガウス和、ヤコビ和について。
Cは複素数体とする。
χ:Fq*→C* 乗法群についての群準同型
ψ:Fq→C* 加法群から乗法群にへの非自明な群準同型
特にψはψ(x)=exp(2πiTr(x)/p)とする。
ここでTrはFpからその素体Fpへのトレースを表す。
(前書いたときはこの辺のありがたみを理解してなくて省いてたが、実はここが重要だった)
そしてガウス和g(χ)を
g(χ)=Σ[x∈Fq]χ(x)ψ(x) で定める。
(ただし任意のχについてχ(0)=0)
また、ヤコビ和をJ(χ1,χ2)を
J(χ1,χ2)=)=Σ[x∈Fq]χ1(x)χ2(1-x)
で定める。
これは拡大体Fqrでも同様になるが、
実は拡大体のほうの指標χrとして都合のよいものを取れば、
そのガウス和g(χr)は元の体Fqでのガウス和で書ける。
これがいわゆるHasse-Davenport relationである。
今回の一連の記事は、これを示すのが目標です。
さて、上で言う「都合のよいもの」と言うのは
χrがFqの指標とFqrからFqへのノルムNrによって
χr(x)=χ(Nr(x))となるもの。
Fqの指標とノルムの合成でかけるものを指します。
これは都合がよいですが、それなりに汎用性があります。
例えばχrとして、その位数(指標群の元として)がkのものを
利用したいとします。このkについてk|(q-1)が成り立つなら、都合のよい形のものが
存在します。具体的にはk|(q-1)であることから、Fqの指標で
位数がkのものが存在するので、それをkχと書きます。
このときkχ(Nr)はFqrの位数kの指標となります。
これはノルムが生成元を生成元に移すことからわかります。
(∵これはノルムが全射であることから従う)
またψについてもFqrの指標ψrを上で決めたものとすれば
Fqの指標ψによってψr=ψ(Trr)とかけます。
(これはトレースの定義から直接計算出来ます。要は二段階拡大した体からのトレースは
それぞれの段階のトレースの合成で書ける、と言うことです。)
大体前置きが終わったので、次からHasse-Davenport relationの証明にはいるかな。
