TKSS等の日記

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ハッセ-ダヴェンポートの関係式　その3

数学

そろそろ佳境。母関数についての続き。


無限積
\bigprod_{f{\in}S^{*}}(1-\lambda(f)t^{deg(f)})^{-1}
について、この積の各項は無限等比級数の和の形になっているので
まず、無限等比級数に分解すると
\bigprod_{f{\in}S^{*}}\bigsum_{k=0}^{\infty}\lambda(f)^{k}t^{kdeg(f)}
λ(f)k=λ(fk)であるので
\bigprod_{f{\in}S^{*}}\bigsum_{k=0}^{\infty}\lambda(f^{k})t^{kdeg(f)}
とかける。各無限和の次数kの項について係数λ(f)をみたとき、
fはk次多項式になっていることに注意する。
この無限積を展開することを考える。
まず、定数項は明らかに1である。次に1次の項を考えると、
それぞれの無限和の部分で1次の項が現れるのは、f∈S1*の場合に
一つ現れるだけであり、無限積を展開した時出てくる1次の項は、
無限積のf∈S1*である項から1つλ(f)tを選び、
他の項からは1を選んで掛け合わせたものの総和であるので、
1次多項式はすべて既約多項式であることに注意すれば
1次の項tの係数は\bigsum_{f{\in}S_{1}}\lambda(f)とかける。
2次以上の項についても同様に考える。n次の項の係数を考える。
無限積の各項である無限和から項を一つずつ選んで掛け合わせて
n次の項を作ると考えると、それは\bigsum_{k=1}^{m}deg(f_{a_i})=nを満たす元によって
(\bigprod_{k=1}^{m}\lambda(f_{a_i})\quad)t^n
という形になることがわかる。ここで係数の積についてλの性質から
(\bigprod_{k=1}^{m}\lambda(f_{a_i}))=\lambda(\bigprod_{k=1}^{m}f_{a_i})=\lambda(f))
と書き直せる。fは次数の合計がnになるような既約多項式たちの積であるからf∈Snとなる。
よって、n次の項の係数はいくつかのn次多項式fによるλ(f)の和で書けることになる。
逆に、無限積が既約多項式の集合S*のすべてを渡る事から、
任意のf∈Snがn次の項の係数に中に現れることとなる。
(fは必ず既約多項式の積で書けるから。)ゆえにn次の項の係数は
\bigsum_{f{\in}S_{n}}\lambda(f)とシンプルにあらわされることになる。


以上より、最初の無限積は
1+\bigsum_{k=1}^{\infty}\qua(\bigsum_{f{\in}S_{k}}\lambda(f){\quad})t^k
と書ける事がわかった。これは最初に考えたg(χr)の母関数である
無限級数よりも比較的分かり安い形をしている。
この無限級数の考察は次回。次でラストの予定。
今回の議論はやや難しいと思う。今回得た結論から逆にたどる、
即ち最後の無限和から無限積表示を求める方がシンプルな議論となるので
証明の際にはそちらを採用するのもありだろう。今回はなるべく発見的な形を追及し、
このような議論をとることにした。