TKSS等の日記

日常時々数学競馬ラノベetc

ガンマ関数と三角関数　その2

数学

ガンマ関数の類似物Γn(x)の考察その2


ワイエルシュトラス表示に対応するものの導出
\large\frac{sin(\frac{k\pi}{2n})}{sin(\frac{x+k}{2n}\pi)}
について、加法定理を使って整理すると
\large\frac{sin(\frac{k\pi}{2n})}{sin(\frac{x+k}{2n}\pi)}=\frac{sin(\frac{k\pi}{2n})}{sin(\frac{x\pi}{2n})cos(\frac{k\pi}{2n})+cos(\frac{x\pi}{2n})sin(\frac{k\pi}{2n})}
分子分母をsin(kπ/(2n))で割ると
\large\frac{sin(\frac{k\pi}{2n})}{sin(\frac{x\pi}{2n})cos(\frac{k\pi}{2n})+cos(\frac{x\pi}{2n})sin(\frac{k\pi}{2n})}=\frac{1}{sin(\frac{x\pi}{2n})cot(\frac{k\pi}{2n})+cos(\frac{x\pi}{2n})}
分母からcos(πx/(2n))を括りだせば
\large\frac{1}{sin(\frac{x\pi}{2n})cot(\frac{k\pi}{2n})+cos(\frac{x\pi}{2n})}=sec(\frac{x\pi}{2n})\frac{1}{tan(\frac{x\pi}{2n})cot(\frac{k\pi}{2n})+1}
これを変形することで
\large sec(\frac{x\pi}{2n})\frac{1}{tan(\frac{x\pi}{2n})cot(\frac{k\pi}{2n})+1}=sec(\frac{x\pi}{2n})\(1+\frac{tan(\frac{x\pi}{2n})}{tan(\frac{k\pi}{2n})}\)^{-1}
と出来るので、結局
\large\frac{sin(\frac{k\pi}{2n})}{sin(\frac{x+k}{2n}\pi)}=sec(\frac{x\pi}{2n})\(1+\frac{tan(\frac{x\pi}{2n})}{tan(\frac{k\pi}{2n})}\)^{-1}
と出来ることになる。これより
\large\Gamma_n(x)=(\frac{2n}{\pi})^{x}\frac{\pi}{2nsin(\frac{\pi x}{2n})}\Bigprod_{k=1}^{n-1}sec(\frac{x\pi}{2n})\(1+\frac{tan(\frac{x\pi}{2n})}{tan(\frac{k\pi}{2n})}\)^{-1}
\large\Gamma_n(x)=(\frac{2n}{\pi})^{x}\frac{\pi sec^{n}(\frac{x\pi}{2n})}{2ntan(\frac{\pi x}{2n})}\Bigprod_{k=1}^{n-1}\(1+\frac{tan(\frac{x\pi}{2n})}{tan(\frac{k\pi}{2n})}\)^{-1}
(2n/π)xに細工をして
\large\Gamma_n(x)=exp(xlog\frac{2n}{\pi}-\Bigsum_{k=1}^{n-1}\frac{tan(\frac{x\pi}{2n})}{tan(\frac{k\pi}{2n})})\frac{\pi sec^{n}(\frac{x\pi}{2n})}{2ntan(\frac{\pi x}{2n})}\Bigprod_{k=1}^{n-1}\(1+\frac{tan(\frac{x\pi}{2n})}{tan(\frac{k\pi}{2n})}\)^{-1}exp(\frac{tan(\frac{x\pi}{2n})}{tan(\frac{k\pi}{2n})})
というものすごく分かりづらい変形をすると、ワイエルシュトラス表示の対応物が得られる。
これはn→∞でワイエルシュトラス表示になるのを数値計算では確認。
\large\lim_{n\rightarrow\infty}\Bigsum_{k=1}^{n-1}\frac{tan(\frac{x\pi}{2n})}{tan(\frac{k\pi}{2n})}-xlog\frac{2n}{\pi}=\gamma x
となるというのがまだ未証明だが、まぁどうにかなるような気がする。
これがいえれば積記号の部分はsinの無限積のときのテクニックでどうにかなるはず。
以上の未証明部分が示せれば、Γn→Γがいえるはず。


相補公式についてはまた次回だがワイエルシュトラス表示(の対応物)と
sinの無限積のときにつかった無限積の有限アナロジーを使えばさほど難しくない。
(というか、最初の試行錯誤中はこの辺をヒントに今日最初にやった変形を逆にたどっていった。)


積分表示はやはりさっぱり見当がつかない。試行錯誤で見つけられれば良いが。
それか、最初の定義の形を和の形に直せない物かな。
というかその前に指数関数の類似を捜すべきかも知れんな。
こっちはいまいち取っ掛かりが無いが。