(x,y,z) x,y,zが互い素なピタゴラス数の組 yは偶数,zが斜辺
⇔ x=a^2-b^2 y=2ab z=a^2+b^2 a,b a,bは互い素で偶奇が異なる
と書ける。
合同数関連で使うので確認がてら。
←
実際にx^2+y^2を計算すればx^2+y^2=z^2が成り立つ事を確認できる。
x,zは互い素
∵x,zをともに割り切る素数pが合ったとする。p|x+z p|x-z よりp|a^2 p|b^2
ゆえp|a p|b すなわちgcd(a,b)=p これは仮定に反する
x,yは互い素
∵x,yをともに割り切る素数pが合ったとする。仮定よりp≠2
p|yより、pは素数なのでp|a or p|b が成り立つ。前者の場合
p|xより p|a^2-b^2 p|a であるのでp|b 出なければならないがこれは仮定に反する。
後者の場合も同様
y,zは互い素
∵y,zをともに割り切る素数pがあったとする。やはりp≠2 p|y+z p|y-z よりp|(a+b)^2 p|(a-b)^2 pは素数なので p|(a+b) p|(a-b) これより
p|aかつp|b となるがこれは仮定に反する。
⇒
y^2=z^2-x^2=(z+x)(z-x)とかける。x,zはともに奇数であるので
z+x,z-xはともに偶数。z+x=2s z-x=2t とかける(s,tは整数)
s,tは互い素
∵s,tをともに割り切る素数をpとする。先と同様にするとp|xかつp|z
これは仮定に反する
y^2=4st とかけるyは偶数なので2|y ゆえ(y/2)^2=st
(y/2)^2は平方数でありs,tは互いに素であることからs,tともに平方数である。
ゆえs=a^2 t=b^2 (a,bは整数で互い素)とかける。
ここでa,bをともに奇数とするとx,zがともに2で割り切れるが、これは仮定に反するので
a,bの偶奇は異なる。
z+x=2a^2 z-x=2b^2 y^2=4(ab)^2 より
x=a^2-b^2 y=2ab z=a^2+b^2 とかける。
明日は面積nを持つ原始ピタゴラス数組(x,y,z)と
合同数nとある種の性質を満たす有理平方数vの組(n,v)の対応について
