面積nをもつ直角三角形(x,y,z) (x＜y＜z x,y,z∈Q) v=(z/2)^2について
v,v+n,v-nは有理平方数
proof
vについては明らか
v=(x^2+y^2)/4 n=xy/2より v+n=(x^2+y^2)/4+xy/2={(x+y)/2}^2
v-n=(x^2+y^2)/4-xy/2={(x-y)/2}^2 よりOK
nが合同数⇔∃v v,v+n,v-nは有理平方数
⇒ 上の証明
←
とおくと
x^2+y^2=2(v+n)+2(v-n)=4v=z^2 より
上で定められたx,y,zは直角三角形の三辺を成す。
またxy/2=(1/2){(v+n)-(v-n)}=(1/2)*2n=n
より、その直角三角形の面積はn
ゆえnは合同数
合同数と言うのは
「有理数で表される長さの辺で作られる直角三角形の面積として表される数」
です。例えば6がそうです(辺の長さが3,4,5)
5も合同数ですが、面積が5になる有理直角三角形を探すのは結構大変です。
