TKSS等の日記

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オイラー定数について

数学

ガンマ関数って、自然対数の底、円周率、オイラー定数と
数学の主要3定数が全部からんでくるんだな。なかなかに圧倒的。


目標は
\large\lim_{n\rightarrow\infty}\Bigsum_{k=1}^{n-1}\frac{tan(\frac{x\pi}{2n})}{tan(\frac{k\pi}{2n})}-xlog\frac{2n}{\pi}=\gamma x
を示すこと。まずその準備として
\large\lim_{n\rightarrow\infty}\Bigsum_{k=1}^{n-1}\frac{\frac{\pi}{2n}}{tan(\frac{k\pi}{2n})}-log\frac{2n}{\pi}=\gamma
を示す。
そのために必要な次の二つの関数の級数展開を考える。
\large log(\frac{sin(x)}{x})=\Bigsum_{k=1}^{\infty}-\frac{\zeta(2k)}{k\pi^{2k}}x^{2k}　\large cot(x)=\frac{1}{x}-\Bigsum_{k=1}^{\infty}\frac{2\zeta(2k)}{\pi^{2k}}x^{2k-1}
∵
sinの無限積展開から
\large log(\frac{sin(x)}{x})=\Bigsum_{k=1}^{\infty}log(1-\frac{x^2}{k^2\pi^2})
\large log(1-x)=\Bigsum_{k=1}^{\infty}\frac{-x^k}{k}を上の式に使えば\large log(\frac{sin(x)}{x})=\Bigsum_{k=1}^{\infty}\Bigsum_{j=1}^{\infty}\frac{-x^{2j}}{jk^{2j}\pi^{2j}}
この右辺は|x|＜πで絶対収束する事がすぐにわかる。
(各項の絶対値をとっても、全体としては符合が変わるだけだから)
ゆえに二重和のとり方を交換してよい。交換してやると
\large log(\frac{sin(x)}{x})=\Bigsum_{j=1}^{\infty}\Bigsum_{k=1}^{\infty}\frac{-x^{2j}}{jk^2\pi^2}=\Bigsum_{j=1}^{\infty}(\Bigsum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k^{2j}})\frac{-x^{2j}}{j\pi^{2j}
となるので1番目の式が示された。
2番目の式はこれを項別微分してやれば得られる。
(整級数なので収束半径内で項別微分可能。)
2番目の式を使ってみると
\large\Bigsum_{k=1}^{n-1}\frac{\frac{\pi}{2n}}{tan(\frac{k\pi}{2n})}-log\frac{2n}{\pi}=(\Bigsum_{k=1}^{n-1}\frac{1}{k}-logn)-log\frac{2}{\pi}-\Bigsum_{j=1}^{\infty}(\frac{1}{n^{2j}}\Bigsum_{k=1}^{n-1}k^{2j-1})\frac{\zeta(2j)}{2^{2j-1}}
と整理できる。(3項目は級数が絶対収束する事を使って和の順序を変えてある)
n→∞で1項目はγになる(ほぼ定義そのまま)ので3項目の無限和の極限を考えれば良い。
即ち示すべきは
\large\lim_{n\rightarrow\infty}\Bigsum_{j=1}^{\infty}(\frac{1}{n^{2j}}\Bigsum_{k=1}^{n-1}k^{2j-1})\frac{\zeta(2j)}{2^{2j-1}}=-log\frac{2}{\pi}
ということになる。
長くなるので以下次回。