苦手な分野なのでもっと初歩から。
射影直線
R2-{(0,0)}の任意の2元(a,b),(a',b')に次のような関係を導入する。
(a,b)〜(a',b')⇔∃λ∈R (a,b)=(λa',λb')
この同値関係でR2-{(0,0)}を割ったものを考える。
R2-{(0,0)}/〜=P1を射影直線と言う。
これの完全代表系としては次のようなものが作れる。
まずP1の元(a,b) a≠0について
(a,b)〜(1,b/a)となる。これらはR1の各元に対応する。(b/aをRの元と思う)
でa=0のとき(a,b)=(0,b)〜(0,1)となる。これは無限遠点に対応する。
a≠0のときと同様にb/aを考えると1/0となっていかにも無限遠点と言う感じがでる
(と、個人的には思う。)
で、本題の射影平面はR3に同じような事をする。
(一般の体上で射影空間を考えるのもほぼ同様。らしい)
R3-{(0,0,0)}の任意の2元(a,b,c),(a',b',c')に次のような関係を導入する。
(a,b,c)〜(a',b',c')⇔∃λ∈R (a,b)=(λa',λb',λc')
R3-{(0,0,0)}/〜=P2を射影平面とよぶ。
先と同様にして考えると
a≠0なら(a,b,c)〜(1,b/a,c/a)となってR2の元(b/a,c/a)に対応。
a=0,なら(a,b,c)=(0,b,c)だからこれは先にやった射影直線となる。
こういうのを無限遠直線と呼ぶ。
と言うことは射影平面て言うのは普通の意味での平面に射影直線を付け加えたもの
とでも言えば良いのか。いまいち直感的にならんな。
