テータ関数 - TKSS等の日記

ちょっと短め。ゼータの解析接続のために必要な、
θ(t)のt→+0での詳しい振る舞いについて。

テータ関数の関数等式より
$\large\theta(t)=\frac{1}{\sqr(t)}\Bigsum_{n=-\infty}^\infty e^{\frac{n^2\pi}{t}}$
と書ける事がわかっている。これからtが0付近のときはθ(t)〜1/√tであると結論したわけだが
これを詳しく調べる。
$\large|\theta(t)-\frac{1}{\sqr{t}}|\le\frac{2}{\sqr{t}}\Bigsum_{n=1}^\infty e^{\frac{-n^2\pi}{t}}$
ここで天下りだがtを√t≧4e^-1/tが成り立つ範囲に制限し、この不等式を考える。
(4e^-1/t/√tがt→0で0に収束することからtが十分小さければ上の不等式は成り立つ)
この不等式より
$\large|\theta(t)-\frac{1}{\sqr{t}}|\le\frac{e^{\frac{1}{t}}}{2}\Bigsum_{n=1}^\infty e^{\frac{-n^2\pi}{t}}$
と書き換えられる。総和からe^-π/tをくくりだすと
$\large|\theta(t)-\frac{1}{\sqr{t}}|\le\frac{e^{\frac{1-\pi}{t}}}{2}\Bigsum_{n=1}^\infty e^{\frac{-(n^2-1)\pi}{t}}$
ここでn²-1=(n+1)(n-1)≧3(n-1)がn≧1で成り立つので、これを利用して
$\large|\theta(t)-\frac{1}{\sqr{t}}|\le\frac{e^{\frac{1-\pi}{t}}}{2}\Bigsum_{n=1}^\infty e^{\frac{-3(n-1)\pi}{t}}$
またここでさらに天下りにe^-3π/t≦1/2が成り立つ範囲にtを制限して
この不等式を用いれば
$\large|\theta(t)-\frac{1}{\sqr{t}}|\le\frac{e^{\frac{1-\pi}{t}}}{2}\Bigsum_{n=1}^\infty (\frac{1}{2})^{n-1}=\frac{e^{\frac{1-\pi}{t}}}{2}*2=e^{\frac{1-\pi}{t}}=e^{-\frac{\pi -1}{t}}$
即ち
$\large|\theta(t)-\frac{1}{\sqr{t}}|\le e^{-\frac{\pi -1}{t}}$
が成り立つのでt→+0でθ(t)-1/√tはどんなベキ関数よりも速く0に収束することがわかる。