ガンマ関数のねた、その後。

指数関数をどう似せるかで悩んでいたが、
どうも難しい。
が、実はe^xではなくe^x2なら綺麗に
表現できるということに気付いた。
e^x2のどのような性質に着目するかということになるが
まず微分した場合の(e^x2)'=2xe^x2は
元々指数関数をまねしたいという意味から外せない。
さらにこの関数の逆数となるe^-x2は
有名なガウス積分の被積分関数であるから、これに類似する性質を持ってれば
結構良い線にいってると考えられる。
ガンマ関数との絡み的にもΓ(1/2)がガウス積分とほぼ同じ意味合いを持つわけだから
この性質も外せない。
で、この2つの性質の類似をきっちり持ったものが見つけられた。
どうもe^-x2〜cos⁸ⁿ²(x/2n)と出来るようだ。
これは確かにn→∞の極限で一致する。この形だと見づらいが
1+tan²(x)=1/cos²(x)を用いて
cosⁿ²(x/n)=1/(1+tan²(x))⁴ⁿ²
と書けば(1+tan²(x/2n))⁴ⁿ²→e^x2
が見やすい。(厳密にやるとややこしそうではあるが)
微分における性質もこの形のほうが自然に見えてくる。
またガウス積分についてはウォリスの公式が対応する。


まだ、以前から考えている積分表示についてはよくわからないが
この辺がヒントになりそうな気がする。