ガウス和、ヤコビ和 - TKSS等の日記

性質をずらずらと列挙。
F_q^*からC^*への自明な準同型をIと書くことにする。
ただしこの場合でもI(0)=0に注意。(即ちx=0ならI(x)=0、そうでないならI(x)=1)

g(I)=-1
∵
$g(I)=\bigsum_{x\not=0}\psi(x)=\bigsum\psi(x)-\psi(0)=0-1=-1$
J(I,I)=q-2
∵
$J(I,I)={\bigsum}I(x)I(1-x)=\bigsum_{x\not=0,1}1=q-2$
J(χ₁,χ₂)=J(χ₂,χ₁)
∵
$J(\chi_{1},\chi_{2})=\bigsum\chi(x)\chi(1-x)$
t=1-xと置くとx=1-t。xがF_qを渡るときtもF_qを渡るので
$J(\chi_{1},\chi_{2})=\bigsum_{t}\chi_{1}(1-t)\chi_{2}(t)=J(\chi_{2},\chi_{1})$

まだ書きたいが眠いので締め。明日も書きます。
この辺は好きなネタなので書けるだけ書こう。