関数解析はややこしいから問題見て
関数解析チックな知識(Lp空間やらの知識があったほうがよいもの)なら回避
実数の性質とかその辺のアナロジーでいけそうなら考えてみる。くらいのノリで。
具体論のほうが難しいってやつだな。
簡単のため抽象的な問題にしてくださいよｗ
その後代数をひたすら。効率はどうかしらんが、まぁ頑張った。
過去問から一つやってみる。
x4-14x2+9 のQ上でのガロア群を計算せよ。
まず既約性から示す。
可約だと仮定すると、多項式の形から整数a,bを用いて
(x2+a)(x2+b)と分解できるが、この時
a+b=14 ab=9 より aについてa2-14a+9=0を満たすはずである。
この時aは負数までこめて9の約数でなければならないが
a=±1,±3,±9 のすべてについてaは上の式を満たさないので、
このようなaは存在せず、x4-14x2+9は既約である。
x4-14x2+9
=(x2+3)2-20x2
=(x2-2√5x+3)(x2+2√5x+3)
とできるので
x2-2√5x+3=0の解の一つをaと置くと
もう一つの解は解と係数の関係から3/aとなりa+3/a=2√5を満たす。
さらに(-a)+(-3/a)=-2√5 であり (-a)*(-3/a)=3 であるから
-aと-3/aはx2+2√5x+3=0の解でもあるので
x4-14x2+9のQ上最小分解体は
Q(a,3/a,-a,-3/a)=Q(a)である事がわかる。
ゆえ求めるガロア群をGと置くと#G=deg(x4-14x2+9)=4
がわかる。
またx4-14x2+9=0の解xについて
上の結果から
x→-xとする置換はGに含まれる。
同様にx→3/xとする置換もGの含まれる。
この二つの合成 x→-3/xもGに含まれ
これらはすべて位数2の元である事がわかる。
(x→-x→-(-x)=x,x→3/x→3/(3/x)=x,x→-3/x→-3/(-3/x)=x)
恒等置換x→xとあわせて4つのGの元がえられる。
単位元である恒等置換以外の元は全て位数2であるので
Gはクラインの4元群とわかる。
位数8になった時はどう論じるのが早道なんだろ。
調べてくるかぁ。
翌日追記
もう一問のほうは位数8かと思ったらこっちも位数4だな。
じゃあこっちもクラインの4元群=z/2z*z/2zか。よくわからん出題だな。
問題文の簡潔さからも見て、問題考えるのがだるかったんだとしか思えんな。
さらに追記
違うわ。もう一個はz/4zだ。ガロア群の計算はよくわからん・・・。
