ガンマ関数　その2 - TKSS等の日記

その2言うほど内容ない気がするが。
講義そっちのけにする勢いで考えたが相補公式からもう一個の奴は
綺麗には出ないぽい。まぁ数学の巧妙さから言って多分何かしらの手段はあるんだろうが。

ガンマ関数の積分による定義はオイラーによるわけだが、その定義から
ガンマ関数のガウスによる定義を導く。即ち
$\large\Gamma(s)=\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{n!n^s}{\Bigprod_{k=0}^n(s+k)}$ 　　を導く。
次を示す。
${\Bigint}_0^\infty \;e^{-x}x^{s-1}dx=\lim_{n\rightarrow\infty}{\Bigint}_0^n (1-\frac{x}{n})^n x^{s-1}dx$
まず、右辺を次のように書き直す。
$\lim_{n\rightarrow\infty}{\Bigint}_0^\infty (1-\frac{x}{n})^n x^{s-1} I_{[0,n]}(x)dx$
ただしI_[0,n](x)は区間[0,n]の指示関数。
即ちx∈[0,n]なら1、そうでないとき0をとる関数を表す。
これと示すべき式の右辺が一致することは明らか。
関数(1-x/n)ⁿx^s-1I_[0,n](x)について
(1-x/n)ⁿについて、x≧0でe^-x≧1-xが成り立つことから
x∈[0,n]のときe^x/n≧(1-x/n)が得られるので、
これの両辺をn乗すればe^x≧(1-x/n)ⁿが得られる。
またe^-x＞0であるので、x≧0で任意のnについて
e^-x≧(1-x/n)ⁿI_[0,n](x)が成り立つ。
両辺にx^s-1≧0をかければ、
e^-xx^s-1≧(1-x/n)ⁿx^s-1I_[0,n](x)≧0
がわかる。ここで
${\Bigint}_0^\infty \;e^{-x}x^{s-1}dx$ はガンマ関数そのものであるから
任意のs＞0に対して積分は有限となるので、
$\lim_{n\rightarrow\infty}{\Bigint}_0^\infty (1-\frac{x}{n})^n x^{s-1} I_{[0,n]}(x)dx$
についてルベーグの収束定理が適用できて、
$\lim_{n\rightarrow\infty}{\Bigint}_0^\infty (1-\frac{x}{n})^n x^{s-1} I_{[0,n]}(x)dx={\Bigint}_0^\infty \lim_{n\rightarrow\infty}(1-\frac{x}{n})^n x^{s-1} I_{[0,n]}(x)dx$
右辺の被積分関数の極限を計算すれば右辺はガンマ関数の定義そのものになる。
以上で
${\Bigint}_0^\infty \;e^{-x}x^{s-1}dx=\lim_{n\rightarrow\infty}{\Bigint}_0^n (1-\frac{x}{n})^n x^{s-1}dx$
が示せた。
さて、右辺の極限をとらないときの積分を計算すると、部分積分によって
$\large{\Bigint}_0^n (1-\frac{x}{n})^n x^{s-1}dx=[\frac{1}{s}(1-\frac{x}{n})^n x^s]_0^\infty -\frac{1}{s}{\Bigint}_0^\infty -\frac{n}{n}(1-\frac{x}{n})^{n-1}x^sdx$
となり、整理すると
$\large{\Bigint}_0^n (1-\frac{x}{n})^n x^{s-1}dx=\frac{1}{s}\frac{n}{n}{\Bigint}_0^\infty (1-\frac{x}{n})^{n-1}x^sdx$
よって、
$\large{\Bigint}_0^n (1-\frac{x}{n})^n x^{s-1}dx=\frac{n!}{n^n\Bigprod_{k=0}^{n-1} (s+k)}{\Bigint}_0^\infty x^{s+n-1}dx=\frac{n!n^s}{\Bigprod_{k=0}^n(s+k)}$
を得るので、極限をとることで、
$\large\Gamma(s)=\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{n!n^s}{\Bigprod_{k=0}^n(s+k)}$
が示される。

もう一個の公式示すとこまで辿り着けないな、これは。