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ガンマ関数と三角関数　その3

数学

相補公式の類似について。


これはさほど難しくない。前に導いた
\large\Gamma_n(x)=(\frac{2n}{\pi})^{x}\frac{\pi sec^{n}(\frac{x\pi}{2n})}{2ntan(\frac{\pi x}{2n})}\Bigprod_{k=1}^{n-1}\(1+\frac{tan(\frac{x\pi}{2n})}{tan(\frac{k\pi}{2n})}\)^{-1}
を用いて、Γn(x)Γn(-x)を計算すると
\large\Gamma_n(x)\Gamma_n(-x)=\frac{\pi sec^{2n}(\frac{x\pi}{2n})}{4n^2tan^2(\frac{\pi x}{2n})}\Bigprod_{k=1}^{n-1}\(1-\frac{tan^2(\frac{x\pi}{2n})}{tan^2(\frac{k\pi}{2n})}\)^{-1}
となる。右辺の積記号の部分は前に出てきたsinの無限積のアナロジーの逆数なので
\large\Gamma_n(x)\Gamma_n(-x)=-\frac{\pi^2 sec^{2n}(\frac{x\pi}{2n})}{4n^2tan^2(\frac{\pi x}{2n})}\frac{2ncos^{2n}(\frac{x\pi}{2n})tan(\frac{x\pi}{2n})}{sin(\pi x)}=-\frac{\pi^2 }{2ntan(\frac{\pi x}{2n})sin(\pi x)}
と計算できる。両辺に\large-\frac{2n}{\pi}tan(\frac{\pi x}{2n})をかけて整理すれば
\large-\frac{2n}{\pi}tan(\frac{\pi x}{2n})\Gamma_n(x)\Gamma_n(-x)=\frac{\pi }{sin(\pi x)}
となり、Γnの性質を使えば
\large\Gamma_n(x)\Gamma_n(1-x)=\frac{\pi }{sin(\pi x)}
が得られる。右辺がnによらない形になるのは良い性質だと思う。


さて、後はオイラー積分に対応するものが見つかればほぼ完璧で、
その先のいろんな妄想も出来るのだが、全く手がかりなし状態。
もともとのガンマ関数で、他の表示式からオイラー積分を導く方法とか調べてみるか。
なかなかみつからなそうだが。