TKSS等の日記

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　オイラー定数について　その3

数学

まぁもうオイラー定数関係ないけどね。
\large\lim_{n\rightarrow\infty}\Bigsum_{k=1}^{n-1}\frac{\frac{\pi}{2n}}{tan(\frac{k\pi}{2n})}-log\frac{2n}{\pi}=\gamma
を示したので、これにxをかければ
\large\lim_{n\rightarrow\infty}\Bigsum_{k=1}^{n-1}\frac{\frac{\pi x}{2n}}{tan(\frac{k\pi}{2n})}-xlog\frac{2n}{\pi}=\gamma x
となる。示したい式は
\large\lim_{n\rightarrow\infty}\Bigsum_{k=1}^{n-1}\frac{tan(\frac{x\pi}{2n})}{tan(\frac{k\pi}{2n})}-xlog\frac{2n}{\pi}=\gamma x
だから、上の式の左辺をしたの式の左辺から引いてやって
\large\lim_{n\rightarrow\infty}\Bigsum_{k=1}^{n-1}\frac{tan(\frac{x\pi}{2n})}{tan(\frac{k\pi}{2n})}-\Bigsum_{k=1}^{n-1}\frac{\frac{\pi x}{2n}}{tan(\frac{k\pi}{2n})}=0
を示せばよいということになる。結局
\large\lim_{n\rightarrow\infty}(tan(\frac{x\pi}{2n})-\frac{x\pi}{2n})\Bigsum_{k=1}^{n-1}\frac{1}{tan(\frac{k\pi}{2n})}=0
となる。
大雑把にはカッコ内の項がn3のオーダーで0に収束し
後ろの和の方がnlognのオーダーで発散するので全体では0に収束となる。
これを目安に手際よくやると
まずx＞0に制限する。nを十分大きいとすればπx/(2n)＜π/2としてよいので
sin(πx/(2n))＜πx/(2n)＜tan(πx/(2n))となる。これより
\large |(tan(\frac{x\pi}{2n})-\frac{x\pi}{2n})\Bigsum_{k=1}^{n-1}\frac{1}{tan(\frac{k\pi}{2n})}|\le |(tan(\frac{x\pi}{2n})-\frac{x\pi}{2n})|\Bigsum_{k=1}^{n-1}\frac{1}{\frac{k\pi}{2n}
\large \le(tan(\frac{x\pi}{2n})-sin(\frac{x\pi}{2n}))\frac{2n}{\pi}\Bigsum_{k=1}^{n-1}\frac{1}{k}
\large \le tan(\frac{x\pi}{2n})(1-cos(\frac{x\pi}{2n}))\frac{2n}{\pi}(1+log(n-1))
\large = tan(\frac{x\pi}{2n})(2sin^2(\frac{x\pi}{4n}))\frac{2n}{\pi}(1+log(n-1))
\large = \frac{\pi}{2n}(tan(\frac{x\pi}{2n})*\frac{2n}{\pi})(2sin^2(\frac{x\pi}{4n})*\frac{4n^2}{\pi^2})(1+log(n-1))*\frac{\pi}{2n}
となるので、確かにn→∞で0に収束する事がわかる。
元の式の各項はすべて奇関数なのでx＜0でもまったく同様となる。


以上で
\large\lim_{n\rightarrow\infty}\Bigsum_{k=1}^{n-1}\frac{tan(\frac{x\pi}{2n})}{tan(\frac{k\pi}{2n})}-xlog\frac{2n}{\pi}=\gamma x
が言えたことになる。xをtanxに変えたことによる誤差の積み重なりが
log(2/π)になるというのはなかなか面白い。
既にDATの海に消えた某三角関数スレ住人としては
これに気付けただけでもガンマ関数関連をやった甲斐があったな。