1は合同数でない。
補題 1が合同数ならば各辺の長さが整数で面積が平方数の三角形が存在。
∵1が合同数なので面積が1の有理直角三角形が存在。
辺の長さが整数になるように相似拡大する。
具体的には角辺を既約分数で表したときの分母の最小公倍数をLとして
各辺をL倍すればよい。このとき面積はL2となる。
補題 1が合同数ならばx4-y4=u2 uは奇数
は整数解(それは自然数解としてよい)を持つ。
∵1が合同数なので先の補題から面積が平方数の整直角三角形が存在。
その三辺を(X,Y,Z)とする。Zを斜辺、X,Y,Zは互い素、Xが奇数でYは偶数としてよい。
このとき∃a,b∈N (a,b)=1 (a,bの偶奇は異なる)
X=a2-b2 Y=2ab Z=a2+b2
この三角形の面積は1/2*XY=ab(a+b)(a-b)=K2 K∈N となる。
a,b,a+b,a-bはそれぞれ互いに素なので(∵a,bが互い素)
a,b,a+b,a-bは全て平方数。ゆえ
a=c2、b=d2、とする。c,d∈N
またX=(a+b)(a-b)も平方数なのでX=e2 e∈N
以上をX=a2-b2に代入すると
e2=c4-d4。またXは奇数だったのでeも奇数。
ゆえ(c,d,e)はx4-y4=u2 uは奇数 の自然数解。
命題 x4-y4=u2 uは奇数 は自然数解を持たない。
∵(X,Y,Z)がX4-Y4=Z2を満たしZは奇数とする。
X4+Z2=Y4となるので
∃a,b∈N (a,b)=1 (a,bの偶奇は異なる)
Z=a2-b2 X2=2ab Y2=a2+b2
aを偶数とすると(2a,b)=1 X2=2ab より
2a,bはともに平方数。a=2c2 b=d2 c,d∈N とする。
またY2=a2+b2より
∃e,f∈N (e,f)=1 (e,fの偶奇は異なる)
b=e2-f2、a=2ef,Y=e2+f2 としてよい。
a=2efより2c2=2ef すなわちc2=ef
(e,f)=1よりe=g2,f=h2,g,h∈Nと出来る。
b=d2、e=g2,f=h2,b=e2-f2より
d2=g4-h4 bは奇数なのでdは奇数。
ゆえ(g,h,d)もx4-y4=u2 uは奇数 の自然数解。
bを偶数とした場合も同様の議論で自然数解が得られる。
ところでe=g2,a=2ef,X2=2abよりg＜X
同様にf=h2,Y=e2+f2よりh＜Y
となる。このことから
それぞれ4乗したときの差が平方数になる自然数の組の無限降下列
(X,Y),(g,h),(g',h')・・・が作れる。
しかし自然数は下に有界であるのでこれはありえない。
よってx4-y4=u2 uは奇数 は自然数解を持たない。
1が合同数であるとすると命題と矛盾。ゆえ1は合同数でない。
命題の系としてフェルマーの大定理n=4の場合が得られる。
X4+Y4=Z4 がXYZ≠0なる整数解をもったとする。
それは自然数解でX,Y,Zは互い素として一般性を失わない。
X,Yのどちらかは奇数。(原始ピタゴラス数組の議論)Yを奇数として
やはり一般性を失わない。
Y4=Z4-X4は命題の方程式であるので
自然数解を持たない。
1の場合と似たような議論で2が合同数でない事が言える。
これからもやはりフェルマーの大定理n=4の場合が従う。
3は合同数ではないが同じような手でいけるかは不明。
4は平方数なので1の場合の系。5は合同数なので5は最小の合同数。
どうでもいいが何で合同数と言うのか?
