ゆるゆる〜っと。 - TKSS等の日記

(X,d)距離空間
点列コンパクト⇒コンパクト
補題
(X,d)距離空間で点列コンパクト
Xの開被覆U_λ　λ∈Λについて
∃ε＞0　∀a∈X　∃λ∈Λ　B(a,ε)⊂U_λ
このεをルベーグ数と言う。
補題でかなり長いので記事を分けよう。

proof
このようなεがなかったとする。即ち
任意のδ＞0に対してあるa∈Xがあって
全てのλ∈Λに対してB(a,δ) $\not\subset$ U_λ
δとして1/n　n∈Nとしてそれぞれに対応するXの元をa_nとする。
即ちB(a_n,1/n) $\not\subset$ U_λ　(∀λ∈Λ)
この{a_n}についてXの点列コンパクトなので集積点を持つ。
その集積点をaとし、そこへの収束部分列を{a_{n_k}}とする。

さてa∈Xで{U_λ}はXの開被覆であるので
∃λ_a∈Λ　a∈U_{λ_a}
またU_λは開集合であるのであるε_aがあって
B(a,ε_a)⊂U_{λ_a}とできる。
このε_aについて
k＞N₁ならばd(a_{n_k},a)＜ε_a/3
となるようなN₁が取れる。
また1/N₂＜ε_a/3　即ちN₂＞3/ε_aとなる
N₂をとりN₃=max{N₁,N₂}とする。
このN₃に対しm＞N₃なるmに対して
B(a_{n_m},1/n_m)を考える。
x∈B(a_{n_m})について
d(x,a)≦d(x,a_{n_m})+d(a_{n_m},a)
　　　＜ε_a/3+ε_a/3=2ε_a/3＜ε_a
となるのでx∈B(a,ε_a)となる。
xは任意のB(a_{n_m},1/n_m)として取れるので、結局
B(a_{n_m},1/n_m)⊂B(a,ε_a)
よってB(a_{n_m},1/n_m)⊂U_{λ_a}
となるが、これは点列{a_n}の定義に反し、矛盾。
よってルベーグ数εが存在する。