続、有限体

ノルム、トレースについて。


ノルムは
N_r:F_q^r→F_q
N_r(x)=x*x^q*x^q2*…*x^qr-1
と定める。このとき、当然ながら
∀x∈F_q^r,N_r(x)∈F_q
∵
N_r(x)^q=x^q*x^q2*…*x^qr
x∈F_q^rよりx^qr=xゆえ
N_r(x)^q=N_r(x)
ゆえN_r(x)∈F_q
また、定義から明らかに∀a,b∈=F_q^rについて
N_r(ab)=N_r(a)N_r(b)


N_rは全射となる。
∵
0は明らかに0に移り、それ以外の元は0に移らない。その他の元については
N_rを乗法群の準同型と見ると
ker(N_r)={x*x^q*x^q2*…*x^qr-1=1}
であるので、これをxについての方程式とみなすと、その解の数は重解を持たないので
1+q+q²+…+q^r-1=(q^r-1)/(q-1)個。
ゆえ、準同型定理から#Im(N_r)=#F_q^r/#ker(N_r)=(q^r-1)/{(q^r-1)/(q-1)}=q-1
#F_q^*=q-1ゆえ、全射性がわかる。


トレースは
Tr_r:F_q^r→F_q
Tr_r(x)=x+x^q+x^q2+…+x^qr-1
と定める。ノルムと同様な方法で、これも∀x∈F_q^r,Tr_r(x)∈F_q
またchar(F_q)=pとすれば(a+b)^p=a^p+b^pであるので
これを何回も適用することで
∀a,b∈=F_q^rについて
Tr_r(a+b)=Tr_r(a)+Tr_r(b)
また、Tr_rは加法群についての準同型であるので
その核の位数を考えれば、ノルムのときとやはり同様に全射性が示せる。