超幾何微分方程式 - TKSS等の日記

しかし物々しい名前よね、これ。
合流型超幾何微分方程式とかこれ以上漢字が並ぶ数学用語は他になかろう。

さて、Gaussの超幾何微分方程式

$(G)\quad$\partial^2_{z}+\frac{(\alpha+\beta+1)z-\gamma}{z(z-1)}\partial_{z}+\frac{\alpha\beta}{z(z-1)}$u(z)=0$
について、z=0,1において
$\frac{(\alpha+\beta+1)z-\gamma}{z(z-1)}\quad{,}\quad\frac{\alpha\beta}{z(z-1)}$
は1位の曲はそれぞれ1位の極を持つから
fuchsの定理より、z=0,1で(G)は確定特異点を持つ。
z=∞においてはz=1/ξとおいて(G)を書き換え、ξ=0においての挙動を調べる
∂_z=-ξ²∂_ξである。
(∵d/dz=d/dz(1/z)*d/dξ=-1/z²d/dξ=-ξ²d/dξ)
これより(G)は
$(G^\prime)\quad$\xi^4\partial^2_{\xi}-\frac{(\alpha+\beta+1)-\gamma\xi}{(1-\xi)}\xi^3\partial_{\xi}+\frac{\alpha\beta\xi^2}{(1-\xi)}$v(\xi)=0$
と書き換えられる。両辺ξ⁴で割れば
$(G^\prime)\quad$\partial^2_{\xi}-\frac{(\alpha+\beta+1)-\gamma\xi}{\xi(1-\xi)}\partial_{\xi}+\frac{\alpha\beta}{\xi^2(1-\xi)}$v(\xi)=0$
となる。これについて
$-\frac{(\alpha+\beta+1)-\gamma\xi}{\xi(1-\xi)}$
はξ=0に1位の極
$\frac{\alpha\beta\xi^2}{\xi^2(1-\xi)}$
はξ=0に2位の極をもつので、やはりfuchsの定理よりξ=0に確定特異点を持つ。
ゆえ(G)はz=∞に確定特異点を持つ。

また、z=0,1,∞においての決定方程式を求めると
まずz=0について(G)の両辺にz²をかけて整理すると
$$z^2\partial^2_{z}+\frac{(\alpha+\beta+1)z-\gamma}{(z-1)}z\partial_{z}+\frac{\alpha\beta{z}}{(z-1)}$u(z)=0$
を得る。z=0のとき
$\frac{(\alpha+\beta+1)z-\gamma}{(z-1)}=\gamma\quad,\quad\frac{\alpha\beta{z}}{(z-1)}=0$
より、決定方程式は
$\rho$\rho-1$+\gamma\rho=\rho$\rho-1+\gamma$=0$
となるので特性ベキ指数は0,1-γ
z=1の場合は(G)の両辺に(z-1)²をかけて同様にすれば
決定方程式は
$\rho$\rho-1$+$\alpha+\beta-\gamma+1$\rho=\rho$\rho+\alpha+\beta-\gamma$=0$
ゆえ特性ベキ指数は0,γ-α-β
z=∞においては(G')の両辺にξ²をかけて整理すれば
$$\xi^2\partial^2_{\xi}-\frac{(\alpha+\beta+1)-\gamma\xi}{(1-\xi)}\xi\partial_{\xi}+\frac{\alpha\beta}{(1-\xi)}$v(\xi)=0$
を得る。ξ=0のとき
$\frac{(\alpha+\beta+1)-\gamma\xi}{(1-\xi)}=\alpha+\beta+1\quad,\quad\frac{\alpha\beta}{(1-\xi)}=\alpha\beta$
より、決定方程式は
$\rho(\rho+1)-(\alpha+\beta+1)\rho+\alpha\beta=(\rho-\alpha)(\rho-\beta)=0$
となり、よって特性ベキ指数はα,βとなる。
これよりリーマン図式は
$\begin{Bmatrix}z=0&z=1&z=\infty\\0&0&\alpha\\1-\gamma&\gamma-\alpha-\beta&\beta\end{bmatrix}$
となる。

これ書く時間でもう一問解けたんじゃねーのか、これ?