某所で数学blogなるものを見た。あそこまでいかないにしろ
日記のネタ作り+いい加減勉強しないとヤバイであろう
自分への追い込みもかねて、その日学んだ事でもつらつらと書いてみる。
平方剰余の相互法則
p,qを奇素数とする
(1) (-1/p)={ 1 (p≡1 mod 4) ,-1 (p≡3 mod 4)}
(2) (2/p)={ 1 (p≡1,7 mod 8) ,-1 (p≡3,5 mod 8)}
(3) (q/p)={ (p/q) (p or q≡1 mod 4) ,-(p/q) (p and q≡3 mod 4)}
証明の概略
(1) x^2+1≡0 mod p が解をもつか否かである。解があったとして
それをaとすると a∈(F_p)^*(F_pの乗法群)と見たときaの位数は4
#(F_p)^*=p-1 であるので、4|p-1 ゆえp≡1 mod 4
逆にp≡1 mod 4なら #(F_p)^*=4k(k∈Z) となる
(F_p)^*は巡回群なのでその生成元をcとすればc^k=aは位数4
ゆえa^2+1≡0 mod p となる。
(2) ζ∈F_p~(F_pの代数的閉包)を1の原始8乗根とする。
ζ^8=1より ζ^4+1=0 ζ^3,ζ^5,ζ^7も1の原始8乗根で
ζ+ζ^3+ζ^5+ζ^7=0 ところで (ζ+ζ^7)^2=ζ^2+2ζ^8+ζ^6 ゆえ
(ζ+ζ^7)^2=ζ^2(1+ζ^4)+2=+2 よって(ζ+ζ^3)=√2∈F_p^2
ζ+ζ^3+ζ^5+ζ^7=0なので (ζ^3+ζ^5)=-√2∈F_p^2
F_p同型な写像(Gal(F_p^2/F_pの元)σ_p σ_p(a)=a^p なる写像に対し
σ_p(ζ+ζ^7)=ζ^p+ζ^(7p)={√2 (p≡1,7 mod 8), -√2 (p≡3,5 mod 8)}
ゆえp≡1,7 mod 8のとき√2∈F_p
(3) とりあえずガウス和でやるのが自分の性に合ってるが、
まだ理解しきってない。明日にでも。
とりあえず休み中に数論への出発(日本評論社)の5章くらいまでは頑張りたい
