有限体あれこれ。 - TKSS等の日記

ゼミの方では現在有限体上での話が主になってます。
で、あれやこれやを勉強したのですが、ある目標に向け、
それに必要な知識をまとめてみます。

xが有限体F_q^dの元⇔x^{q^d}-x=0
→
x=0なら明らか。x≠0とするとx∈F_q^d^*
ゆえ、#F_q^d^*=q^d-1より
x^{q^d-1}=1となる。両辺にxをかければ
x^{q^d}-x=0を得る。
←
上の結果からF_q^d上の多項式x^{q^d}-xは
x^{q^d}-x=Π[α∈F_q^d](x-α)
と言う因数分解を持つ。F_q^d[x]は体上の1変数多項式環なのでUFD。
ゆえ、この分解は一意的である。
よってF_qの代数的閉包をF_q^~とした時、
β∈F_q^~がβ^{q^d}-β=0を満たしたとすると
Π[α∈F_q^d](β-α)=0となるので
∃α∈F_q^d　β-α=0、即ちβ=α
ゆえβ∈F_q^d　//

以上の補題から、有限体F_qと、その代数的閉包F_q^~を固定した時
F_qの体の有限次拡大F_q^rは
F_q^r={x∈F_q^~|x^{q^r}-x=0}
として一意的に決まる事がわかる。
このことを踏まえ、次を示す。

有限体F_q^dでF_q上既約なd次多項式f(x)は1次式の積に分解する。
∵
まず、任意のF_q上既約なd次多項式f(x)はF_q^dで根を持つ事がわかる。
なぜなら、F_q上既約なd次多項式fを考えた時
fのF_q^~上での根をαとすると
上の結果からF_q[α]=F_q^dであるのでα∈F_q^d
(追記　元の数によって一意に体が定まるからF_q^dと書けるんであって
上の一文はよく考えるとなんか変だ。ここはやはり二つの既約多項式を使って言及すべきか)

またφ:F_q^d→F_q^d
φ(a)=a^qを考えると、これは体同型写像となる。
かつb∈F_qについては上の結果らb^q-b=0よりb^q=bとなるので
φをF_qに制限した時、これは恒等写像。すなわちφはF_q同型。
ゆえαがfの根であるなら、φ(α)=α^qもfの根となる。
以上よりα,α^q,α^q²,…,α^{q^d-1}はそれぞれfの根となる。
また、これらは全て異なる元となる。仮に0≦j≦k≦d-1として
α^{q^j}=α^{q^k}となったとするとk-j=lとして
(α^{q^l}-α)^{q^j}=α^{q^k}-α^{q^j}=0
となるのでα^{q^l}-α=0より、l≠0とするとα∈F_q^lとなるが、
このときαのF_q上での最小多項式はl次のはずであり、l≦d-1ゆえ
これは仮定に反する。よってl=0となるので
j≠kであればα^{q^j}≠α^{q^k}となる事がわかった。
これより、fのd個の根はα,α^q,α^q²,…,α^{q^d-1}であり
全てF_q^dの元である事がわかったので
d次既約多項式fはF_q^d上で1次式に分解する事が言えた。

上のことから体の拡大F_q^d/F_qは有限次ガロア拡大であり
そのガロア群はφを生成元とする巡回群であることもわかる。