さて本題。
(X,d)距離空間
点列コンパクト⇒コンパクト
proof
Xの開被覆Uλ λ∈Λをとる。
この開被覆が有限部分開被覆を持たないと仮定する。
また補題からルベーグ数をεとする。
まずx1∈Xを任意に取る。
B(x1,ε)を含むUλ1 λ1∈Λが存在する。
仮定よりX-Uλ1は空でないのでそこに含まれる元の一つを取りx2とする。
同様にB(x2,ε)を含むUλ2 λ2∈Λ
がある。
X-Uλ1∪Uλ2もやはり空でないので
そこに含まれる元を取りx3とする。以下同様にxnを定義し
点列{xn}を考える。(この論法には選択公理が必要。)
その定義よりi≠jならばd(xi,xj)＞ε となる。
これは{xn}が集積点を持たないことを示している。
(集積点があればそこに収束する部分列があるが、それはコーシー列であるはず)
これはXが点列コンパクトであることに反し、矛盾。
ゆえ、Xの任意の開被覆は有限部分開被覆を持つ。
即ちXはコンパクトである。
