ハッセ-ダヴェンポートの関係式　その4

今回で終了。

無限級数
$1+\bigsum_{k=1}^{\infty}(\bigsum_{f{\in}S_{k}}\lambda(f)\quad)t^k$
について、1次の項の係数は以前の議論によりg(χ)である事がわかっているので
それ以上の項の係数、即ちk≧2のとき
$\bigsum_{f{\in}S_{k}}\lambda(f)$
がどうなるかと言う事が問題になる。が、以前のような
既約多項式のみを扱うかたちではなく、その次数のすべての多項式を扱うので
これは非常に簡単。例えばk=2のとき、2次モニック多項式は一般に
f(x)=x²-a₁x+a₂　a₁,a₂∈F_q
とかける。このときa₁,a₂は互いに束縛せず自由に動く。よって
$\bigsum_{f{\in}S_{2}}\lambda(f)=\bigsum_{a_1{\in}F_q}\bigsum_{a_2{\in}F_q}\chi(a_2)\psi(a_1)$
と書き直せる。これは和の順序を入れ替えて整理すれば
$\bigsum_{a_2{\in}F_q}\chi(a_2)\bigsum_{a_1{\in}F_q}\psi(a_1)$
となる。ここで仮定よりψは非自明であったので、有限群の指標の一般論より
$\bigsum_{a_1{\in}F_q}\psi(a_1)=0$ であるので、結局2次の項の係数は0であることがわかる。
k＞2であっても議論は基本的に変わらない。k次の多項式について
k-1次の項と定数項の組み合わせのパターンは2次の場合と変わらない。
k-1次の項と定数項の組み合わせを一つ決めた時、それを満たす多項式は
それ以外の次数の項のパターンだけあるからq^k-2個あることになるが
これらのfについては、k-1次の項と定数項の組み合わせが同じなのだから
λ(f)は全て等しいことになる。よってk＞2の場合は
$\bigsum_{f{\in}S_{k}}\lambda(f)=q^{k-2}\bigsum_{a_1{\in}F_q}\bigsum_{a_2{\in}F_q}\chi(a_2)\psi(a_1)$
となることがわかるが、これはやはり0である。結局、最初の無限級数について
$1+\bigsum_{k=1}^{\infty}(\bigsum_{f{\in}S_{k}}\lambda(f)\quad)t^k=1+g(\chi)t$
となり、無限級数と思っていたものが実は多項式であったことがわかる。

元々は無限積を展開したものであったので、そこまで戻ってみると
$\bigprod_{f{\in}S^{*}}(1-\lambda(f)t^{deg(f)})^{-1}=1+g(\chi)t$
であり、もともとのg(χ_r)の母関数まで戻れば
$\bigsum_{k=1}^{\infty}g(\chi_k)t^{k-1}=\frac{d}{dt}log(1+g(\chi)t)$
となり、微分を実行すれば
$\bigsum_{k=1}^{\infty}g(\chi_k)t^{k-1}=\frac{g(\chi)}{1+g(\chi)t}$
という母関数の閉じた表示を得たことになる。右辺は無限等比級数の和の形であるから
展開してやれば
$\bigsum_{k=1}^{\infty}g(\chi_k)t^{k-1}=\bigsum_{k=1}^{\infty}(-1)^{k-1}g(\chi)^{k}t^{k-1}$
となるので各項の係数を比較することで
$g(\chi_k)=(-1)^{k-1}g(\chi)^{k}$
と分かる。これがいわゆるHasse-Davenport relationである。

合同ゼータ関数なんかにはこの関係式が必要になってくる場合がある。
結果からみると、母関数まで使わずとも、漸化式が立てられるのではないかと思い
いくらか計算を試みたが、かなり煩雑で、その辺の煩雑な処理を
母関数の側で自動でやってくれているのだなと言う印象。
まさに「伝家の宝刀」といった感じである。

とりあえずこのネタは一旦終了。ガウス和関連だと個人的には
F_pの2次の指標(つまり平方剰余記号)のガウス和の符号決定
をやってみたいのだが、借りてこようと思った本が見つかりません。どうしたものか。

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ハッセ-ダヴェンポートの関係式　その4