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数学

数オタとして正しい週末の過ごし方。


(X,d)距離空間
Xはコンパクト⇒Xは点列コンパクト
proof
Xの点列\{x_n\}_{n=1}^\inftyを任意に取る。これが集積点をもつことを言えばよい。
\{x_n\}_{n=1}^\inftyの含まれないXの点aについて
d_a=inf\{d\(x,a\)|x\in\{x_n\}_{n=1}^\infty\}と定める。
da=0なる点があれば{xn}はaを集積点として持つのでそれでよい。
全ての点についてda＞0とする。
B(a,da)は開集合であって{xn}の点を含まない。
ゆえに
\bigcup_{a\notin\{x_n\}_{n=1}^\infty}B\(a,d_a\)=\(\{x_n\}_{n=1}^\infty\)^c
は開集合となる。これの補集合は
M1={x1,x2…}となる。
同様の議論により
\bigcup_{a\notin\{x_n\}_{n=i}^\infty}B\(a,d_a\)=\(\{x_n\}_{n=i}^\infty\)^c
と定めれば、これはやはり開集合となり、その補集合は
Mi={xi,xi+1…}となる。
Miについてこれらの有限個の共通部分は明らかに常に空でない。
ゆえ開集合Micたちの有限個の和ではXは覆えない。
これよりXのコンパクト性から
\bigcup_{i=1}^{\infty}{M_i}^c
はXの開被覆とならない。(なったらXのコンパクト性から有限部分開被覆を持つから)
これよりドモルガンの法則を用いれば
\bigcap_{i=1}^{\infty}{M_i}が空でない事がわかる。
これは\{x_n\}_{n=1}^\inftyが同じ元を無限個持つことを示している。
即ち{xn}は集積点を持つ。


3:45追記
なんか微妙にダメな気がしてきた。R内[0,2]で
x1=1　n≧2でxn=1+1/nとかこの議論だとアウトっぽい?
出かけのバスででも考えよう。


出かける前にわかった。daは{xn}の点についても
自身を除いたほかの点との距離について考えなきゃダメだ。
その場合においてda＞0じゃないとMicが定まらない。
上の例で言えばM2の段階でx1を含む開集合は取れないものな。