ガンマ関数関連 - TKSS等の日記

やっぱりちょっとダメっぽい。

とりあえず前回のお思い付きを軽くまとめる。
$f_n(x)=(1+tan^2(\frac{x}{2n}))^{4n^2}=sec^{8n^2}(\frac{x}{2n})$
とおく。f(x)を微分すると
$f_n'(x)=2*2n*tan(\frac{x}{2n})f_n(x)$
を満たす。これは(e^x²)'=2xe^x²
に対応しているとみなせる。実際
$\lim_{n\rightarrow \infty}f_n(x)=e^{x^2}$ となる。
(証明は真面目にやると結構面倒になりそうだが。)
これから $g_n(x)=\frac{1}{f_n(x)}=cos^{8n^2}(\frac{x}{2n})$ とおけば
これはガウス積分の被積分関数の類似になるだろう予想がつくので
${\Bigint}_0^{u(n)}g_n(x)dx\approx \frac{\sqrt\pi}{2}$
見たいな関係式が出来るだろうと思える。(u(n)はnの関数でn→∞でu(n)→∞となるようなもの)
ウォリスの公式の良くある証明を思い出せば
${\Bigint}_0^{n\pi}g_n(x)dx=\fra{\pi}{2}\frac{4n*(8n^2-1)!!}{(8n^2)!!}$
と計算できてn→∞で√π/2になることがわかる。
という事まではわかって、これはこれで面白いなとおもた。

が、よく考えれば前に構成したΓ_nは
任意の自然数nについてΓ_n(1/2)=√πになるはずなので
上のものそのままでは思ったより遠いということに気付いた。
(この性質って類似にしては驚異的に良いな。
というか良すぎて逆に難しくしてるような気もしてきた。)
一筋縄じゃいかんな。指数関数の類似が思ったよりかなり難しい･･･。

関係ないがmimeTeXで≒でどうやって出すんだ。