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オイラー定数について　その2

数学

前回の続き。


\large\lim_{n\rightarrow\infty}\Bigsum_{j=1}^{\infty}(\frac{1}{n^{2j}}\Bigsum_{k=1}^{n-1}k^{2j-1})\frac{\zeta(2j)}{2^{2j-1}}=-log\frac{2}{\pi}
を示す。
極限と無限和の交換が必要になるが、ここでは手っ取り早く
無限和を数え上げ測度による積分とみなしてルベーグの収束定理を使う方法をとる。
そのために
\large\frac{1}{n^{2j}}\Bigsum_{k=1}^{n-1}k^{2j-1}
を上から抑える事を考えると、
\large\frac{1}{n^{2j}}\Bigsum_{k=1}^{n-1}k^{2j-1}\le\frac{1}{n^{2j}}\Bigsum_{k=1}^{n}n^{2j-1}=\frac{1}{n^{2j}}n*n^{2j-1}=1
と出来るので、
\large |\Bigsum_{j=1}^{\infty}(\frac{1}{n^{2j}}\Bigsum_{k=1}^{n-1}k^{2j-1})\frac{\zeta(2j)}{2^{2j-1}}|\le\Bigsum_{j=1}^{\infty}\frac{\zeta(2j)}{2^{2j-1}}
となり、また任意の自然数jについてζ(2j)≦ζ(2)＜2より
\large |\Bigsum_{j=1}^{\infty}(\frac{1}{n^{2j}}\Bigsum_{k=1}^{n-1}k^{2j-1})\frac{\zeta(2j)}{2^{2j-1}}|\le\Bigsum_{j=1}^{\infty}\frac{1}{2^{2j-2}}
と出来る。この右辺は収束するので、元の級数に対してルベーグの収束定理が適用できて
\large\lim_{n\rightarrow\infty}\Bigsum_{j=1}^{\infty}(\frac{1}{n^{2j}}\Bigsum_{k=1}^{n-1}k^{2j-1})\frac{\zeta(2j)}{2^{2j-1}}=\Bigsum_{j=1}^{\infty}\lim_{n\rightarrow\infty}(\frac{1}{n^{2j}}\Bigsum_{k=1}^{n-1}k^{2j-1})\frac{\zeta(2j)}{2^{2j-1}}
としてよいことがわかる。
\large\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n^{2j}}\Bigsum_{k=1}^{n-1}k^{2j-1}を計算すると
\large\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n^{2j}}\Bigsum_{k=1}^{n-1}k^{2j-1}=\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n}\Bigsum_{k=1}^{n-1}(\frac{k}{n})^{2j-1}={\Bigint}_0^1 \quad x^{2j-1}dx=\frac{1}{2j}
となるので、次の無限級数
\large\Bigsum_{j=1}^{\infty}\frac{\zeta(2j)}{j2^{2j}}
の値を計算すればよい事になるが、これは前回求めた
\large log(\frac{sin(x)}{x})=\Bigsum_{k=1}^{\infty}-\frac{\zeta(2k)}{k\pi^{2k}}x^{2k}
にx=π/2を代入し-1をかけてやったものとなっているので
\large\Bigsum_{j=1}^{\infty}\frac{\zeta(2j)}{j2^{2j}}=-log(\frac{sin(\frac{\pi}{2})}{\frac{\pi}{2}})=-log\frac{2}{\pi}
となり、前回の結果とあわせれば
\large\lim_{n\rightarrow\infty}\Bigsum_{k=1}^{n-1}\frac{\frac{\pi}{2n}}{tan(\frac{k\pi}{2n})}-log\frac{2n}{\pi}=\gamma
が示されたことになる。


あとは大本の物を示すだけだが、これは
x→0のときtanx〜xである事が本質的なのでそう難しくはない。
まぁここまでやったので次回一応厳密に書いてみたい。


以下本筋からずれる。
ζ(2j)が係数に出てくる無限級数を今回はそのまま扱った。
たまたまこういう無限級数について扱ってるサイトを見かけたので利用できた。
まぁcotの展開とかは分かってたので、時間はかかったかもしれないが
自分でも見つけられたとは思う。
ところで、ζ(2j)がベルヌイ数で書けるという観点から見ると
これってlog(π/2)を表すような積分か何かをオイラー･マクローリンの和公式あたりで
無限級数化した物と見ることも出来るんだろうか?(詳しくは全然知らないのだが)