テータ関数 - TKSS等の日記

今回はテータ関数の定義とそれが満たす関数等式の導出。
といってもポアソンの和公式からすぐ出てくるのですけどね。
解析的整数論において重要な関数の一つで、有名なラグランジュの
「4平方和定理」などもこの関数を利用して証明できたりするらしいのですが、
今回は専らRiemann-zeta関数の全複素平面への解析接続、
及び関数等式の導出のために用います。

いずれは、解析的整数論の初歩も学んで、ラグランジュの定理や、
素数に関する諸定理(素数定理、算術級数定理、チェビシェフあたり)なんかも
紹介できればと思いますので、興味のある方がいらっしゃれば
気長に待つorコメントで急かすなどでお願いします。

定義はそう難しいものでなく、
$\large\theta(t)=\Bigsum_{k=-\infty}^\infty e^{-n^2\pi t}$
によってテータ関数はt＞0に対して定義される。
ここで注意すべきなのは無限和の各項を成す関数e^-n²πtが
nを変数と見たときt＞0とすれば急減少関数になっているということである。
このことにより、定義式の右辺がt＞0で(広義)一様収束する事が容易に示される。
次のようにすれば分かる。
a＞0をとってt≧aとする。テータ関数の定義は
$\large\theta(t)=1+2\Bigsum_{k=1}^\infty e^{-n^2\pi t}$ と書き換えられる。
急減少関数e^-πax²を考えれば、その急減少性より
あるR＞0があってx≧Rならばx²e^-πax²≦1が成り立つように出来る。
これよりあるNがあってn＞Nならば
e^-n²πt≦1/n²が成り立つように出来るので
$\large|\theta(t)-1-2\Bigsum_{k=1}^{N} e^{-n^2\pi t}|\le\Bigsum_{k=N+1}^\infty \frac{1}{k^2}$
となり、右辺の級数は収束することから、テータ関数の収束性が示され、
tに無関係に抑えられていることから、一様収束性が示される。

複素数tに対して|e^-n²πt|=e^-n²πRe(t)であるので
定義域をt＞0の実軸上から、Re(t)＞0をみたす右半複素平面上に拡張できることも容易に分かる。

また、テータ関数は急減少関数の整数値を渡る和として定義されているので
そのままポアソンの和公式が適用できる。
その際e^-πx²tのフーリエ変換
$\large{\Bigint}_{-\infty}^\infty e^{-2\pi i xy}e^{-\pi x^2 t}dx$
を計算する必要があるが、これはガウス積分の結果と、コーシーの積分定理などから
$\large{\Bigint}_{-\infty}^\infty e^{-2\pi i xy}e^{-\pi x^2 t}dx=\frac{1}{\sqr{t}}e^{\frac{-\pi y^2}{t}}$
となるので、ポアソンの和公式から
$\large\theta(t)=\Bigsum_{m=-\infty}^\infty \frac{1}{\sqr{t}}e^{\frac{-\pi m^2}{t}}$
がえられる。これからテータ関数の満たす関数等式
$\large\theta(t)=\frac{1}{\sqr{t}}\theta(\frac{1}{t})$ が示される。

もとの定義式とこの関数等式からテータ関数のt→∞での振る舞いと
t→+0でも振る舞いを調べる事が出来る。
もとの定義式から、t→∞のときn=0の項以外は0に収束することから
t→∞のときθ(t)→1であることがわかり、また
関数等式によって得られた級数からt→+0のときθ(t)〜1/√tとなることがわかる。

今回は細かい計算を省き気味ですが、まぁこんなところ。
この関数のメリン変換を考えることでリーマンゼータの関数等式を導きますが
その際に今回示した関数等式が重要になってきます。