ポアソンの和公式

フーリエ変換による綺麗な性質の一つ。
正則関数は級数によって定義される事が多々あるので
それの満たす関数等式を導くのにポアソンの和公式が使えることも。
代表例はテータ関数。

定理の内容は
任意のg∈S(R)に対して

が成り立つというもの。
時間がないので証明はあとで。なかなか上手い証明で
自分は結構感動しました。


さて、証明。証明にはフーリエ展開を使います。展開可能性については
ディリクレの定理を援用しますが、おまじないということで、そういう物としておきます。


g∈S(R)に対して関数h(x)を次のように定める。
h(x)=Σ[k∈Z]g(x+k)
右辺の無限級数は一様収束する。
∵
まずx∈[0,1)と仮定する。
Σ[k∈Z]g(x+k)≦Σ[k∈Z]|g(x+k)|　であり

g(x+k)

についてgの急減少性よりあるN＞0,M＜0があって

k≧Nのときk²g(k)≦1とでき、同様に
k≦Mのときk²g(k)≦1とできる。よって
L=N-M+1とおけば|k|≦Lのときk²g(x+k)≦1となる。これより
Σ[k∈Z]|g(x+k)|≦Σ[-L≦k≦L]|g(x+k)|+2Σ[k=L,∞]1/k²＜∞
と出来るので、右辺は収束。また一様性についてもほぼ同様で

h(x)-Σ[-L≦k≦L]g(x+k)

≦2Σ[k=L,∞]1/k2

と出来るが、右辺について2Σ[k=L,∞]1/k²=π²/3-2Σ[k=1,L]1/k²

と書き換えればxに関係なくLを大きく取れば右辺は0に収束するので、一様収束。
その定義から明らかにh(x)は周期1の周期関数であるので
一般のxについてもx∈[0,1)の場合に帰着する。


h(x)は周期1の周期関数であり、C^∞級関数の一様収束極限であることから
h(x)もC^∞級。ゆえ[0,1]で一様収束するフーリエ級数展開を持つ。(これがディリクレの定理)
すなわち
h(x)=Σ[m∈Z]c_me^2πimx　c_m∈C　
とかく事が出来る。フーリエ係数c_mは
c_m=∫[0,1]h(x)e^2πimxdx　で与えられる。
(これがフーリエ展開が一様収束することのありがたみ)
右辺の積分は　∫[0,1]Σ[k∈Z]g(x+k)e^2πimxdx　
とかけるがh(x)の一様収束性から、和と積分が交換可能で、
Σ[k∈Z]∫[0,1]g(x+k)e^2πimxdx　となる。
これはx+k=tとおいて置換積分することで、
Σ[k∈Z]∫[k,k+1]g(t)e^2πim(t-k)dt=∫[-∞,∞]g(t)e^2πimtdt
と書き換える事が出来る。(k∈Zよりe^2πimk=1に注意)
この右辺は、フーリエ変換の定義そのものであるから、右辺はg^(m)となる。
ゆえc_m=g^(m)であると分かったので
h(x)=Σ[m∈Z]g^(m)e^2πimx　となる事が示せた。
x=0を代入すればh(0)=Σ[m∈Z]g^(m)　となることがわかるが
h(x)の定義に戻ればh(0)=Σ[k∈Z]g(k)　であるから、
この2式を比較することでポアソンの和公式が得られる。