関数方程式f(x-y)f(x)f(y)=f(x)-f(y)-f(x-y) f'(0)=1について
定義域は(-a,a)
f'(x)をf(x)で表せ。
f(x-y)f(x)=-{f(x-y)-f(x)}/f(y)-1
yを-yに置き換えると、f(x+y)f(x)={f(x+y)-f(x)}/f(y)-1
(ここでf(-x)=-f(x)を使った)
{f(x+y)-f(x)}/f(y)
=y/f(y)*{f(x+y)-f(x)}/y-1
=(y-0)/{f(y)-f(0)}{f(x+y)-f(x)}/y
(ここでf(0)=0を使った)
y→0とすると
lim[y→0]y/{f(y)-f(0)}{f(x+y)-f(x)}/y=1/f'(0)*f'(x)=f'(x)
このとき左辺はf(x)2
よってf(x)2=f'(x)-1
f'(x)=f(x)2+1
問題省くが(3)
g(x)=f(x)-xとおけば
g'(x)=f'(x)-1=f(x)2≧0ゆえ
g(x)は単調増加ゆえa＞c＞d＞-aにおいて
g(c)≧g(d)となる。ここでg(d)=g(c)とすると
c＜x＜dで常にg'(x)=0とならなければならないが
これはc＜x＜dで常にf'(x)=1となることを示している。
即ちこの区間である定数rを用いてf(x)=x+rとかけることになるが
この区間において関数等式を当てはめると
f(x-y)f(x)f(y)=f(x)-f(y)-f(x-y)より
(x-y+r)(x+r)(y+r)=(x+r)-(y+r)-(x-y+r)となるが
右辺は-rとなり、左辺はx,yの式となるが、
これは区間内の任意のx,yについて成り立つことから
x,yについての恒等式とならねばならず、矛盾。
即ちa＞c＞d＞-aならg(c)＞g(d)
(4)
(3)よりt≧0のときf'(t)≧t2+1となる
これの両辺を0からxまで定積分すれば
f(x)-f(0)≧x3/3+x
即ちf(x)≧x3/3+x
これより、再び(3)を用いればt≧0で
f'(t)2≧(t3/3+t)2+1
これを0からxまで定積分すればx＞0の場合を示せる。
x＜0の場合はf(-x)=-f(x)を用いればよい。
こんなの受験の最中に解けるかっつうの。
