平方剰余の相互法則の続き

(q/p)={ (p/q) (p or q≡1 mod 4), -(p/q) (p and q≡3 mod 4)}

$\zeta\in{F_{p}}^{~}$ を1の原始q乗根とする。ガウス和Gを次のように定める
$G=\sum_{k=1}^{q-1}\frac{k}{q}\zeta^{k}$ 　
これはkが ${F_{p}}^{*}$ を渡っていると見ることも出来る。
G^pの値を2通りで求める。まずG²を考えると
$G^{2}=(\sum_{a\in{F_{p}}^{*}}(\frac{a}{q})\zeta^{a})(\sum_{b\in{F_{p}}^{*}}(\frac{b}{q})\zeta^{b})$
$=\sum_{a,b\in{F_{p}}^{*}}(\frac{ab}{q})\zeta^{a+b}$
と出来る。 $a,b\in{F_{p}}^{*}$ よりb=acなる $c\in{F_{p}}^{*}$ を取れば
$G^{2}=\sum_{c\in{F_{p}}^{*}}(\frac{c}{q})\sum_{a\in{F_{p}}^{*}}\zeta^{a(1+c)}$
と変形できる。これは1+c=0のときと1+c≠0のときに分けて計算すると
$\sum_{a\in{F_{p}}^{*}}\zeta^{a(1+c)}=\{-1{\quad}if{\quad}1+c\not=0,{\quad} q-1{\quad}if{\quad}1+c=0\}$
となるので
$G^2=(\frac{-1}{q})(q-1)-(\frac{-1}{q})(-1)=(\frac{-1}{q})q$
となる。(-1/q)q=q'とするとG=√q'でこれよりG^p=(q'/p)G (オイラーの規準)
また直接G^pを計算すると
$G^{p}=\sum_{a\in{F_{p}}^{*}}(\frac{a}{q})\zeta^{ap}$
$=(\frac{p}{q})\sum_{a\in{F_{p}}^{*}}(\frac{ap}{q})\zeta^{ap})$
$=(\frac{p}{q})G$
以上より(q'/p)=(p/q)　となる。q'={q if q≡1 mod 4,-q if q≡3 mod 4} なので
後は第1補充法則(前日の日記の(1))とあわせると(3)が示される。