2章の問題 - TKSS等の日記

2問やるつもりが2問目の後半がよくわからない。
こういうのは暇を見て考えるのが吉。つーか何気にこの本解答がないし。
3章を読んでいったが、定理の証明もないのがあったりするな。
もうちょっとちゃんとした整数論の本買うか。あー、ゼミも
整数論のとこ行けばよかったのかな。でもあの先生には付きたくないんだよな。
人間性が終わってるし。選んだとこでも近い事やれそうだし何とかなるか。
自力で頑張ってみるのも良し。

でとりあえず問題を解いてみる。
p:odd prime p≡1 mod4
$\bigsum_{k=1}^{\frac{p-1}{2}}(\frac{k}{p})=\bigsum_{k=1}^{\frac{p-1}{2}}(\frac{2k-1}{p})=\bigsum_{k=1}^{\frac{p-1}{2}}(\frac{2k}{p})=0$
まず第1補充法則より $(\frac{-1}{p})=1$ ゆえ $(\frac{-k}{p})=(\frac{k}{p})$
　-k≡p-k mod p ゆえ $(\frac{k}{p})=(\frac{p-k}{p})$ 　これより
$2\bigsum_{k=1}^{\frac{p-1}{2}}(\frac{k}{p})=\bigsum_{k=1}^{\frac{p-1}{2}}(\frac{k}{p})+\bigsum_{k=1}^{\frac{p-1}{2}}(\frac{p-k}{p})=\bigsum_{k=1}^{p-1}(\frac{k}{p})=0$
よって $\bigsum_{k=1}^{\frac{p-1}{2}}(\frac{k}{p})=0$ となり
$\bigsum_{k=1}^{\frac{p-1}{2}}(\frac{2k}{p})=(\frac{2}{p})\bigsum_{k=1}^{\frac{p-1}{2}}(\frac{k}{p})=0$
$\bigsum_{k=1}^{\frac{p-1}{2}}(\frac{2k-1}{p})=\bigsum_{k=1}^{p-1}(\frac{k}{p})-\bigsum_{k=1}^{\frac{p-1}{2}}(\frac{2k}{p})=0-0=0$

二問目
(1)q,p,p':odd prime 　q≡1 mod 4 　 p≡p' mod q
$(\frac{q}{p})=(\frac{q}{p'})$
平方剰余の相互法則より $(\frac{q}{p})=(\frac{p}{q})$
いまp≡p' mod qゆえ $(\frac{p}{q})=(\frac{p'}{q})$
もう一度相互法則より $(\frac{p'}{q})=(\frac{q}{p'})$
以上より $(\frac{q}{p})=(\frac{q}{p'})$

(2)q,p,p':odd prime　 q≡3 mod 4 　 p≡p' mod 4q
$(\frac{q}{p})=(\frac{q}{p'})$
これがよくわからん。書きながらシンプルに考えてみる。
まず逆にしてみよか。 $(\frac{p}{q})=(\frac{p'}{q})$
これは成り立つ。∵ p≡p' mod 4qより p≡p' mod q
これを相互法則でひっくり返せばいい。
てことはp≡p' mod 4　であればOK。なんだ、言えてるわ。
これは p≡p' mod 4qから言えている。
ゆえ $(\frac{q}{p})=(\frac{q}{p'})$ か。
難しく考えすぎだったようだ。