以前もチラッと出てきましたが、今回はその一般化。
数学者ってのは抽象化とか一般化とか大好きです。
ある数学者の
「あなたの話は具体的なのでわかりにくい。もっと抽象的に話してください」
と言う台詞がそれを物語っています。
まぁ、普通は具体的なほうがわかり安いと思うのですが、
数学やってると確かに私らレベルでも、一般化、抽象化したほうが簡単なときはありますね。
とりあえず定義なんぞ。
Fqはq個の元を持つ有限体。Cは複素数体とする。
χ:Fq*→C* 乗法群についての群準同型
ψ:Fq→C* 加法群から乗法群にへの非自明な群準同型
について、ψを固定して考えたときガウス和g(χ)を
g(χ)=Σχ(x)ψ(x) で定める。(xはFqを渡る)
(ただし任意のχについてχ(0)=0)
また、ヤコビ和をJ(χ1,χ2)を
J(χ1,χ2)=)=Σχ1(x)χ2(1-x) で定める。(xはFqを渡る)
この定義は実数体上でのガンマ関数、ベータ関数の有限体上でのアナロジーらしいです。
上の二つの和についていくつかの性質を示しますが、とりあえず今回は
それを示す際に使う、有限群一般の性質について。
G:有限群
χ:G→C* 非自明な準同型。
このときΣχ(x)=0 (xはGを渡る)
proof
Σχ(x)=aと置く。
χの非自明性より、∃y,χ(y)=b≠1。
χ(y)Σχ(x)=ab
左辺について
χ(y)Σχ(x)=Σχ(x)χ(y)=Σχ(xy)
xがGを渡るときxyもまたGを渡るので結局Σχ(xy)=a
ゆえa=abとなるので、これを整理するとa(1-b)=0
b≠1としたので、よってa=0となりΣχ(x)=0 □
