続き - TKSS等の日記

J(χ,χ^~)=-χ(-1)
ただしχ^~はχの共役、即ちχ^~(x)はχ(x)の複素共役。
この定義からχ^~(x)=(χ(x))^-1が従う。(∀x≠0、|χ(x)|=1なので)
∵
$J(\chi,\chi^{\~})=\bigsum\chi(x)\chi^{\~}(1-x)$
$=\bigsum_{x\not=0,1}\chi(x)\chi^{\~}(1-x)$
$=\bigsum_{x\not=0,1}\chi^{\~}(x^{-1})\chi^{\~}(1-x)$
$=\bigsum_{x\not=0,1}\chi^{\~}(x^{-1}-1)$
F_q^*において1の逆元は1なので結局
F_q^*-{1}をxが渡ればx^-1もやはり同じところを渡るので
$=\bigsum_{x\not=0,1}\chi^{\~}(x-1)$
$=\bigsum_{x\not=-1,0}\chi^{\~}(x)$
$=\bigsum\chi^{\~}(x)-\chi^{\~}(-1)=0-\chi^{\~}(-1)=-\chi(-1)$

とりあえずこのへんで。明日、ガウス和とヤコビ和の関係式を示して
それで基本的なものは全てかな。
こういったものを使って有限体上の方程式の解の数を数えるってんだから
凄いよなぁと思う次第。