収束定理ってまじ便利だなと思う午後。
kは正の整数
x＞0に対して(1)xk/(ex-1)=Σ[n=1,∞]xke-nx
を示せ。
proof
1//(ex-1)=e-x/(1-e-x)
x＞0より|e-x|＜1であるので 無限等比級数の和の公式より
e-x/(1-e-x)
=Σ[n=0,∞]e-xe-nx
=Σ[n=1,∞]e-nx
となるので
xk/(ex-1)
=xkΣ[n=1,∞]e-nx
=Σ[n=1,∞]xke-nx
(2)∫[0,∞]xk/(ex-1)dx=Σ[n=1,∞]k!/nk+1
を示せ
proof
(0,∞)においてxk/(ex-1)=Σ[n=1,∞]xke-nx
が成り立つので[0,∞)において、殆どいたるところ上の等式が成り立つ。ゆえ、
∫[0,∞]xk/(ex-1)dx
=∫[0,∞]Σ[n=1,∞]xke-nxdx
とかける。ここでΣ[n=1,∞]xke-nxについて
Σ[n=1,∞]xke-nx=lim{N→∞]Σ[n=1,N]xke-nx
であり、x≧0としてよいのでxke-nx≧0
よってΣ[n=1,N]xke-nx↑Σ[n=1,∞]xke-nx
であるので、単調収束定理から
∫[0,∞]Σ[n=1,∞]xke-nxdx
=Σ[n=1,∞]∫[0,∞]xke-nxdx
と、無限和と積分を交換できる。∫[0,∞]xke-nxdxについて部分積分法より
∫[0,∞]xke-nxdx
=[-1/n*xke-nx][0,∞]-∫[0,∞](-k/n*xk-1e-nx)dx
=lim[x→∞](-1/n*xke-nx)-0+k/n∫[0,∞]xk-1e-nxdx
となる。
lim[x→∞](-1/n*xke-nx)=lim[x→∞](-1/n*xk/enx)についてx→∞で
分子分母ともに無限大に発散するので、ロピタルの定理より
分子分母をk回微分することで
lim[x→∞](-1/n*xk/enx)
=lim[x→∞]{-k!/(nk+1enx)}
=0
ゆえ
∫[0,∞]xke-nxdx=k/n∫[0,∞]xk-1e-nxdx
が成り立つので
∫[0,∞]xke-nxdx
=k!/nk∫[0,∞]e-nxdx
=k!/nk+1となる。よって
Σ[n=1,∞]∫[0,∞]xke-nxdx=Σ[n=1,∞]k!/nk+1
即ち∫[0,∞]xk/(ex-1)dx=Σ[n=1,∞]k!/nk+1が示せた。
(3)∫[0,∞]xk/(ex+1)dx=Σ[n=1,∞](-1)n-1k!/nk+1
を示せ。
ちょっと面倒なのではしょる。
(1)と同様にやればx＞0でxk/(ex+1)=Σ[n=1,∞](-1)n-1xke-nx
が言える。
(2)と同様にして
∫[0,∞]xk/(ex+1)dx
=∫[0,∞]Σ[n=1,∞](-1)n-1xke-nxdx
Σ[n=1,∞](-1)n-1xke-nx=lim[N→∞]Σ[n=1,N](-1)n-1xke-nxについてx≧0で
| Σ[n=1,N](-1)n-1xke-nx | ＜Σ[n=1,N]xke-nx＜xk/(ex-1) |
であり
(2)から
∫[0,∞]xk/(ex-1)dx=Σ[n=1,∞]k!/nk+1
右辺についてk≧1より
Σ[n=1,∞]k!/nk+1≦k!Σ[n=1,∞]1/n2＜∞であるので
ルベーグの収束定理より
∫[0,∞]Σ[n=1,∞](-1)n-1xke-nxdx
=Σ[n=1,∞]∫[0,∞]Σ[n=1,∞](-1)n-1xke-nxdx
が言える。整理すると
Σ[n=1,∞](-1)n-1∫[0,∞]xke-nxdx
となるので(2)の途中の結果から
Σ[n=1,∞](-1)n-1∫[0,∞]xke-nxdx
=Σ[n=1,∞](-1)n-1k!/nk+1
以上より∫[0,∞]xk/(ex+1)dx=Σ[n=1,∞](-1)n-1k!/nk+1
が示せた。
単調収束定理→ルベーグの収束定理の流れはなんというか非常に「強い」感じだな。
両収束定理のステートメントも思い出せたしよかった。
