関数解析その2 - TKSS等の日記

X,Y　Banach space
A: X to Y : closed operator
B: X to Y :B $\in$ B(X,Y)

show that A+B is closed operator of X to Y
proof
・・・収束点列とか英語でかけねえよ。
D(A+B)について、B $\in$ B(X,Y)より
D(A+B)=D(A)に注意する。
∀u_n $\in$ D(A)s.t.u_n→u $\in$ X
となる収束点列{u_n}を取る。
このときB $\in$ B(X,Y)より∃Bu $\in$ Y
lim[n→∞]Bu_n=Bu
さて、n→∞で(A+B)u_n→v $\in$ Yなる元があったとする。
このとき

Au_n-(v-Bu)

=||{(A+B)u_n-v}+Bu-Bu_n||_Y
≦||(A+B)u_n-v||_Y+||Bu-Bu_n||_Y
n→∞で第一項、第二項ともに0にいくので
n→∞で||Au_n-(v-Bu)||_Y→0　即ち
lim[n→∞]Au_n=v-Bu
Aは閉作用素なのでu_n $\in$ D(A)s.t.u_n→u $\in$ Xで
∃lim[n→∞]Au_nのとき
u $\in$ D(A)でlim[n→∞]Au_n=Au
となる。
よってv-Bu=Auであり、即ちv=Au+Bu=(A+B)u
これは(A+B)が閉作用素であることを示している。//

Bがわざわざ有界線形作用素なのは何でじゃと思ってたが
B:closedだけだとこりゃ確かに成り立たんな。
3は単なる計算だから飛ばして4やるか。