関数解析その3 - TKSS等の日記

X:Hilbert space
P:Xにおける正射影作用素
P_n(n=1,2,…):Xにおける正射影作用素
$\forall$ u $\in$ Xに対し $\lim_{n\to\infty}$ ||P_nu||=||Pu||
が成り立つ。
(1) $\lim_{n\to\infty}$ P_nPu=Pu
proof

²=

P_nPu+(Pu-P_nPu)

P_nが正射影作用素であることから、ピタゴラスの定理より

P_nPu+(Pu-P_nPu)

²=

P_nPu

²+

Pu-P_nPu

ゆえ

Pu-P_nPu

²=

²-

P_nPu

となる。
n→∞のとき||P_nPu||→||PPu||
Pは正射影作用素であるからPPu=Puであるので結局
n→∞のとき||P_nPu||→||Pu||　となる。
よってn→∞のとき||Pu||²-||P_nPu||²→||Pu||²-||Pu||²=0
となることからn→∞のとき||Pu-P_nPu||²→0

Pu-P_nPu

≧0からn→∞のとき

Pu-P_nPu

→0

すなわち $\lim_{n\to\infty}$ P_nPu=Puが成り立つ。

(2) $\lim_{n\to\infty}$ P_n(I-P)u=0
(I-P)u=u-Puであり、Pが正射影作用素であることから
P(u-Pu)=0　すなわちP(I-P)u=0となる。これより
$\lim_{n\to\infty}$ ||P_n(I-P)u||=||P(I-P)u||=0であるから
これを
$\lim_{n\to\infty}$ ||P_n(I-P)u-0||=0
と書き直せば、証明すべき事となる。

(3) $\lim_{n\to\infty}$ P_nu=Pu
uは正射影作用素Pによってu=Pu+(I-P)uと分解される。
これよりP_nu=P_n(Pu+(I-P)u)となる。
ここで正射影定理の分解の一意性より
P_n(Pu+(I-P)u)=P_nPu+P_n(I-P)u
よってP_nu=P_nPu+P_n(I-P)u　なので

||P_nu-Pu||

=||P_nPu+P_n(I-P)u-Pu||
=||P_nPu-Pu+P_n(I-P)u||
≦||P_nPu-Pu||+||P_n(I-P)u||
(1),(2)より第1項、第2項ともにn→∞で0にいくので
n→∞のとき||P_nu-Pu||→0
よって $\lim_{n\to\infty}$ P_nu=Pu　が言える。